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相似矩阵怎么求(相似矩阵关系证明)

100次浏览     发布时间:2024-10-04 08:09:15    

相似矩阵关系证明不太好理解,本文试图通过坐标变换和线性变换来证明,中间证明过程中,等式两边不出现ε₁、ε₂、ε₃和

Aε₁、Aε₂、Aε₃,可能要好理解一些。


设W是线性变换,

在基ε₁、ε₂、ε₃下变换矩阵为X,

A(x₁、x₂、x₃)变换到

Aˊ(x₁ˊ、x₂ˊ、x₃ˊ)有:

(x₁ˊ、x₂ˊ、x₃ˊ)ˊ=X(x₁、x₂、x₃)ˊ①

在基η₁、η₂、η₃下变换矩阵为Y

A(y₁、y₂、y₃)变换到

Aˊ(y₁ˊ、y₂ˊ、y₃ˊ)有:

(y₁ˊ、y₂ˊ、y₃ˊ)ˊ=Y(y₁、y₂、y₃)ˊ②

基ε₁、ε₂、ε₃到基η₁、η₂、η₃过渡矩阵为P,有:

(x₁ˊ、x₂ˊ、x₃ˊ)ˊ=P(y₁ˊ、y₂ˊ、y₃ˊ)ˊ③

(x₁、x₂、x₃)ˊ=P(y₁、y₂、y₃)ˊ④

把③④代入②,得:

P⁻¹(x₁ˊ、x₂ˊ、x₃ˊ)ˊ=

YP(x₁、x₂、x₃)ˊ⑤

把①代入⑤,得

P⁻¹X(x₁、x₂、x₃)ˊ=

YP⁻¹(x₁ˊ、x₂ˊ、x₃ˊ)ˊ

比较等式两边,得到:

P⁻¹X=YP⁻¹

两边同时乘以P,得

Y=P⁻¹XP

这样就得到了相似矩阵Y和X的关系式。

这样推导相似矩阵关系用到坐标变换和线性变换,要非常非常熟悉在某基下的矩阵和过渡矩阵。A(x₁、x₂、x₃)和A(y₁、y₂、y₃)是同一点,因为基不同,所以坐标不同。同样,像Aˊ两个坐标,也是因为基不同,实际上是同一点。


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